Systèmes en lignes ou en colonnes - Corrigé

Énoncé

On a vu que le système d'équations linéaires  \(\begin{cases}3x+2y=10\\x-y=5\end{cases}\)  peut s'écrire sous la forme  \(AX=B\)  avec  \(A=\begin{pmatrix}3&2\\1&-1\end{pmatrix}\) ,  \(X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)  et  \(B=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}\) .

1. Montrer qu'il peut aussi s'écrire sous la forme  \(YA'=B'\)  avec  \(Y=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\) , et  \(A'\)  et  \(B'\)  deux matrices que l'on précisera.

2. Quel lien remarque-t-on entre  \(A\)  et  \(A'\)  ? Entre  \(B\)  et  \(B'\)  ?

Solution

1. Le système   peut aussi s'écrire sous la forme  \(YA'=B'\)  avec  \(Y=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix},\)   \(A'=\begin{pmatrix}3&1\\2&-1\end{pmatrix}\) et  \(B'=\begin{pmatrix}10&5\end{pmatrix}\) .

2. On a  \(Y=X^T,\)   \(A'=A^T\)  et  \(B=B^T\) .